Igualdad.
i. Axioma de Identidad: a=a.
ii. Axioma de Reciprocidad: Si a=b, tenemos que b=a.
iii. Axioma de Transitividad: Si a=b y b=c, tenemos que a=c.
Suma o Adición.
i. Axioma de Uniformidad: La suma de dos números es siempre igual, es decir, única; así, si a=b y c=d, tenemos que a+c=b+d.
ii. Axioma de Conmutatividad: a+b=b+a.
iii. Axioma de Asociatividad: (a+b)+c=a+(b+c).
iv. Axioma de Identidad, o Módulo de la Suma: Hay un número y sólo un número, el cero, de modo que a+0=0+a=a, para cualquier valor de a. De ahí que el cero reciba el nombre de elemento idéntico o módulo de la suma.
Multiplicación.
i. Axioma de Uniformidad: El producto de dos números es siempre igual, es decir, único, así si a=b y c=d, tenemos que ac=bd.
ii. Axioma de Conmutatividad: ab=ba.
iii. Axioma de Asociatividad: (ab)c=a(bc).
iv. Axioma de Distributividad: Con respecto a la suma tenemos que a(b+c)=ab+ac.
v. Axioma de identidad, o módulo del producto: Hay un número y sólo un número, el uno (1), de modo que a*1=1*a=a, para cualquier valor de a.
vi. Axioma de Existencia del Inverso: Para todo número real a≠0 (a distinto de cero) corresponde un número real, y sólo uno, x, de modo que ax=1. Este número x se llama inverso o recíproco de a, y se representa por 1/a.
Axiomas de Orden.
i. Tricotomía: Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una relación, y sólo una, entre ambos, que a>b; a=b o a<b.
ii. Monotonía de la Suma: Si a>b tenemos que a+c>b+c.
iii. Monotonía de la Multiplicación: Si a>b y c>0 tenemos que ac>bc.
Axioma de Continuidad.
i. Si tenemos dos conjuntos de números reales A y B, de modo que todo número de A es menor que cualquier número de B, existirá siempre un número real c con el que se verifique a ≤ c ≤ b, en que a es un número que está dentro del conjunto A, y b es un número que está dentro del conjunto B.
Operaciones Fundamentales con los Números Relativos.
Suma de Números Relativos.
En la suma o adición de números relativos podemos considerar cuatro casos: sumar dos números positivos; sumar dos números negativos; sumar un positivo con un negativo, y sumar el cero con un número positivo o negativo.
1) Suma de dos números positivos.
Regla: Para sumar dos números positivos se procede a la suma aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo +. ((+4)+(+2)=+6)
2) Suma de dos números negativos.
Regla: Para sumar dos números negativos se procede a la suma aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo -. ((-4)+(-2)=-6)
3) Suma de un número positivo y otro negativo.
Regla: Para sumar un número positivo y un número negativo se procede a hallar la diferencia aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo del número mayor. Cuando los dos números tienen igual valor absoluto y signos distintos la suma es cero. ((+4)+(-2)=+2; (-4)+(+2)=-2)
4) Suma de cero y un número positivo o negativo.
Regla: La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará el mismo número positivo o negativo. ((+4)+(0)=+4; (-4)+(0)=-4)
Sustracción de Números Relativos.
Llamamos opuesto de un número al mismo número con signo contrario (-m es opuesto de +m). La sustracción es una operación inversa de la suma que consiste en hallar un número x (llamado diferencia), tal que, sumado con un número dado m, de un resultado igual a otro número n (x+m=n).
Llamando m’ al opuesto de m, podemos determinar la diferencia x, sumando en ambos miembros de la igualdad el número m’ (x+m+m’=n+m’). Si observamos el primer miembro de esta igualdad veremos que aplicando el axioma de asociatividad (m+m’=0, y como x+0=x, tendremos x=n+m’) podemos decir que para hallar la diferencia entre n y m basta sumarle a n el opuesto de m (m´).
Regla: Para hallar la diferencia entre dos números relativos se suma al minuendo el sustraendo, cambiándole el signo. ((+8)-(+4)=(+8)+(-4)=(+4); (-8)-(-4)=(-8)+(+4)=(-4))
Multiplicación de Números Relativos.
Regla: El producto de dos números relativos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. El producto hallado llevará signo positivo, si los signos de ambos factores son iguales; llevará signo negativo (-), si los factores tienen signos distintos. Si uno de los factores es 0 el producto será 0.
Cuando operamos con símbolos literales el producto es siempre indicado, bien en la forma a x b; bien en la forma a * b; y más usualmente ab.
La ley de los signos se puede dar de la siguiente forma:
· + por + da +
· - por – da +
· + por – da –
· - por + da –
Potencia de Números Relativos.
Regla: Llamamos potencia de un número relativo al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. Si a es un número relativo cualquiera y n>1 es un número natural, tendremos la notación an, que se lee a elevado a la enésima potencia e indica que a debe tomarse como factor n veces. (an=a*a*a…n veces… a)
En la notación an=x, llamamos potencia al producto x, base al número que tomamos como factor a, y exponente a n, que nos indica las veces que debemos tomar como factor a a. A la operación de hallar el producto x, la llamamos potenciación o elevación a la potencia.
Regla: La potencia de un número positivo siempre es positiva. La potencia de un número negativo será positiva si el exponente es entero y par; negativa si el exponente entero es impar.
Producto de dos potencias de igual base.
Regla: Para multiplicar dos potencias de igual base, se eleva dicha base a la potencia que resulte de la suma de los exponentes respectivos. (am+an=am+n)
Potencia de una potencia.
Regla: Para hallar la potencia de una potencia se multiplican los exponentes y se mantiene la base primitiva. Hay que poner especial cuidado en no confundir la potencia de una potencia, con la elevación de un número a una potencia cuyo exponente, a la vez esté afectado por otro exponente. ((an)m=anxm)
División de números relativos.
El inverso o recíproco de un número relativo cualquiera distinto de cero tiene su mismo signo. (El inverso de +4 es +1/4)
La división es una operación inversa de la multiplicación que consiste en hallar uno de los factores, conocidos el otro factor y el producto. Es decir, dado el dividendo d y el divisor d’ hallar el cociente c, de modo que se verifique d’c=d. Esta operación sólo es posible si d’ es distinto de cero.
Regla: Para dividir un número cualquiera d por otro número distinto de cero d’, multiplicamos d por el recíproco d’ (1/d’). El cociente que resulte será positivo si los dos números son del mismo signo; y negativo, si son de signos contrarios.
La ley de los signos en la división se puede dar de la siguiente forma:
· + entre + da +
· - entre – da +
· + entre – da –
· - entre + da –
Visto lo anterior, se pueden enunciar tres casos de la elevación a potencia de un número cualquiera.
1) Si un número cualquiera a≠0, se eleva a la potencia 0 es igual a +1. (a0=1)
2) Si un número cualquiera a≠0, se eleva a un exponente negativo cualquiera –m es igual al recíproco de la potencia am, de exponente positivo. (a-m=1/am)
3) La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la potencia que dé la diferencia de ambos exponentes. (am-n)
Uniformidad de las operaciones fundamentales con números relativos.
Hemos visto en las operaciones estudiadas, a saber: suma, resta, multiplicación, potenciación y división, que se cumple en todas ellas el axioma de uniformidad. Quiere esto significar que cuando sometemos dos números relativos a cualquiera de las operaciones mencionadas, el resultado es uno, y sólo uno, es decir, único. Sin embargo, cuando extraemos la raíz cuadrada de un número positivo, tenemos un resultado doble. En la extracción de las raíces, un número positivo cualquiera siempre tiene dos raíces de grado par, una positiva y otra negativa. Ejemplos:
(+a’)2=(+a’)(+a’)=+a
(-a’)2=(-a’)(-a’)=+a
Posibilidad de ampliar el campo numérico.
Los números reales no cierran la posibilidad de ampliación del campo numérico. Tal posibilidad se mantiene abierta para la introducción de nuevos entes, siempre que tales entes cumplan las leyes formales.
Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.
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