Igualdad.
Es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el miso valor.
Ejemplos: a=b+c 3x2=4x+15
Ecuación.
Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.
Las incógnitas suelen representarse con letras del alfabeto.
Identidad.
Es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella.
El signo de identidad es ≡, que se lee “idéntico a”.
Ejemplo: (x+y)2 ≡x2+2xy+y2.
Miembros.
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha.
Ejemplo: 3x-5=3x-3 Primer Miembro: 3x-5 Segundo Miembro: 2x-3
Términos.
Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o -, o la cantidad que está sola en un miembro.
Clases de Términos.
Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas.
Ejemplo: 4x-5=x+4
Una ecuación literal es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras, que representan cantidades conocidas.
Ejemplo: 3x+2a=5b-x
Una ecuación es entera cuando ninguno de sus término tiene denominador (como en los ejemplos anteriores), y es fraccionaria cuando algunos o todos sus términos tienen denominador.
Ejemplo: (2x/2)+(6x/5)=5+(x/5)
Grado.
De una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Así, son ecuaciones de primer grado donde el mayor exponente de la incógnita sea 1 (también son llamadas ecuaciones simples o lineales). Una ecuación es de segundo grado cuando el mayor exponente de la incógnita es 2, y así sucesivamente.
Ejemplos: 4x-6=3x-1 (Ecuación de Primer Grado)
X2-5x+6=0 (Ecuación de Segundo Grado)
Raíces o Soluciones.
De una ecuación son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad.
Ejemplo: 5x-6=3x+8 Raíz=7
5(7)-6=3(7)+8
35-6=21+8
29=29
Axioma Fundamental de las Ecuaciones.
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.
Reglas que se derivan de este axioma.
· Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
· Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
· Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
· Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
· Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.
La transposición de términos.
Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Regla: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo.
Ejemplo: 5x=2a-b
Agregamos b
5x+b=2a-b+b
5x+b=2a
Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación, pueden suprimirse.
Ejemplo: x+b=2a+b
X=2a
Cambio de Signos.
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por -1, con lo cual la igualdad no varía.
Ejemplo: (-2x-3=x-15)*(-1)→2x+3=x+15
Resolución de Ecuaciones enteras de Primer Grado con una incógnita.
Regla General:
a) Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
b) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
c) Se reducen términos semejantes en cada miembro.
d) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.
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