Divisibilidad

 Sean a y b números enteros. Se dice que a es divisible entre b si el residuo de a ÷ b es cero.

 Ejemplos.

Múltiplo. El múltiplo de un número es el que lo contiene un número exacto de veces.

Ejemplos.

36 es múltiplo de 9, porque lo contiene 4 veces.

240 es múltiplo de 12, porque lo contiene 20 veces.

Los múltiplos de un número k se obtienen al multiplicar k por los números naturales.

Ejemplos.

Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … , porque 3(1) = 3, 3(2) = 6, 3(3) = 9, 3(4) = 12, 3(5) = 15, 3(6) = 18, ...

Los múltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … , porque 5(1) = 5, 5(2) = 10, 5(3) = 15, 5(4) = 20, 5(5) = 25, 5(6) = 30, ...

Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, 48, … ,  porque 8(1) = 8, 8(2) = 16, 8(3) = 24, 8(4) = 32, 8(5) = 40, 8(6) = 48, ...

Número compuesto. Es aquel que además de ser divisible entre sí mismo y la unidad, lo es entre otro factor.

Ejemplos.

12 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

28 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 4, 7, 14 y 28. 

Criterios de Divisibilidad.

Nos permiten visualizar cuándo un número es divisible entre otro sin efectuar la división. A continuación se enuncian algunos de ellos:

Divisibilidad entre 2. Un número entero es divisible entre 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8, los números divisibles entre 2 se llaman pares.

Ejemplo.

20, 12, 114, 336, 468 son divisibles entre 2, ya que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8, respectivamente.

Divisibilidad entre 3. Un número entero es divisible entre 3, si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.

Ejemplos.

51 es divisible entre 3, ya que 5 + 1 = 6 y 6 es múltiplo de 3.

486 es divisible entre 3, ya que 4 + 8 + 6 = 18 y 18 es múltiplo de 3.

Divisibilidad entre 4. Un número entero es divisible entre 4, si sus últimos 2 dígitos son 0 o un múltiplo de 4.

Ejemplos.

900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0.

628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4.

Divisibilidad entre 5. Un número entero es divisible entre 5, si su último dígito es 0 o 5.

Ejemplo.

5,215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0 respectivamente.

Divisibilidad entre 6. Un número entero es divisible entre 6, si a su vez es divisible entre 2 y 3.

Ejemplos.

216 es divisible entre 2, ya que termina en 6, y es divisible entre 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por tanto, 216 es divisible entre 6.

9,000 es divisible entre 6, ya que es divisible entre 2 y 3.

Divisibilidad entre 7. Un número entero es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último dígito por 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o un múltiplo de 7.

Ejemplos.

315 es divisible entre 7, ya que 5 × 2 = 10 y 31 − 10 = 21 y 21 es múltiplo de 7.

147 es divisible entre 7, porque 7 × 2 = 14 y 14 − 14 = 0.

Divisibilidad entre 8. Un número entero es divisible entre 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la derecha son 0 o forman un múltiplo de 8.

Ejemplos.

6,000 es divisible entre 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 0.

3,160 es divisible entre 8, porque los 3 últimos dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.

Divisibilidad entre 9. Un número entero es divisible entre 9, si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.

Ejemplos.

1,233 es divisible entre 9, ya que 1 + 2 + 3 + 3 = 9, y 9 es múltiplo de 9.

6,786 es divisible entre 9, ya que 6 + 7 + 8 + 6 = 27, y 27 es múltiplo de 9.

Divisibilidad entre 10. Un número entero es divisible entre 10, si el último dígito es 0.

Ejemplos.

360 es divisible entre 10, porque su último dígito es 0.

2,500 es divisible entre 10, ya que termina en 0.

Divisibilidad entre 11. Un número entero es divisible entre 11, si el valor absoluto de la diferencia entre la suma de los dígitos en posición par y la suma de los dígitos en posición impar es 0 o múltiplo de 11.

Ejemplos.

Divisibilidad entre 13. Un número entero es divisible entre 13, si al multiplicar el último dígito por 9 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o múltiplo de 13.

Ejemplos.

273 es divisible entre 13, ya que 27 – (3 x 9)= 27 – 27 = 0.

442 es divisible entre 13, porque 44 – (2 x 9) = 44 – 18 = 26, y 26 es múltiplo de 13.

Divisibilidad entre 17. Un número entero es divisible entre 17, si al multiplicar el último dígito por 5 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o múltiplo de 17. 

Ejemplos.

357 es divisible entre 17, ya que 35 – (7 x 5) = 35 – 35 = 0.

493 es divisible entre 17, porque 49 – (3  x 5) =  49 – 15 = 34, y 34 es múltiplo de 17.

Divisibilidad entre 19. Un número entero es divisible entre 19, si al multiplicar el último dígito por 17 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o múltiplo de 19. 

Ejemplos.

342 es divisible entre 19, ya que 34 – (2 x 17) = 34 – 34 = 0.

1,045 es divisible entre 19, porque 104 – (5 x 17) = 104 – 85 = 19, y 19 es múltiplo de 19.

Fuente:
CONAMAT – Matemáticas Simplificadas.