La media ponderada y el empleo de datos agrupados

La fórmula para la media de una muestra en la que hay n observaciones se escribe como sigue.


En esta fórmula, a cada xi se le da la misma importancia o el mismo peso. Aunque esto es lo más común, en algunas situaciones la media se calcula dando a cada observación un peso que refleja su importancia. A una media calculada de esta manera se le llama media ponderada.

 

Media ponderada.

La media ponderada se calcula:



Donde xi es el valor de la observación i, y wi es el peso para la observación i.

 

Si los datos provienen de una muestra, la ecuación proporciona la media ponderada muestral. Si son de una población, se obtiene la media ponderada poblacional.

 

La selección de las ponderaciones para el cálculo de una determinada media ponderada dependen de la aplicación. En cualquier caso, si la importancia de las observaciones varía, el analista debe elegir los pesos que mejor reflejen la relevancia de cada observación en la determinación de la media.

 

Datos agrupados.

En la mayor parte de los casos, las medidas de localización y variabilidad se calculan mediante los valores individuales de los datos. Sin embargo, otras veces sólo se tienen datos agrupados o datos en una distribución de frecuencias. En la argumentación siguiente se muestra cómo usar la fórmula de la media ponderada para obtener aproximaciones a la media, la varianza y la desviación estándar de datos agrupados.

 

Para calcular la media usando datos agrupados, considere el punto medio de cada clase como representativo de los elementos de esa clase. Si Mi denota el punto medio de la clase i y fi denota la frecuencia de la clase i. Entonces la fórmula para la media ponderada se usa con los valores de los datos denotados por Mi y los pesos dados por las frecuencias fi. En este caso, el denominador de la ecuación es la suma de las frecuencias, que es el tamaño de la muestra n.

 

Es decir, Σfi=n. De manera que la ecuación para la media muestral de datos agrupados es la siguiente:

Donde Mi es el punto medio de la clase i, fi es la frecuencia de la clase i, y n es el tamaño de la muestra.

 

Para calcular la varianza de datos agrupados se emplea una versión ligeramente modificada de la fórmula para la varianza de datos no agrupados. En esa ecuación los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a la media muestral se escribieron como (xi-x)2. Pero cuando se tienen datos agrupados no se conocen los valores. En este caso, se considera el punto medio de clase, Mi, como representativo de los valores xi de la clase correspondiente. Por tanto, los cuadrados de las desviaciones respecto a la media (xi-x)2 son sustituidos por (Mi-x)2. Entonces, igual que en el cálculo de la media muestral de datos agrupados, pondere cada valor por la frecuencia de la clase, fi. La suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media de todos los datos se aproxima mediante Σfi(Mi-x)2. En el denominador aparece el término n – 1 en lugar de n, con objeto de hacer que la varianza muestral sea un estimador de la varianza poblacional. Por consiguiente, la fórmula usada para obtener la varianza muestral de datos agrupados es:



La desviación estándar de datos agrupados es simplemente la raíz cuadrada de la varianza de los datos agrupados.

 

El cálculo de las medidas poblacionales es semejante. A continuación se presentan las fórmulas para la media y la varianza poblacional de datos agrupados.


Al calcular los estadísticos descriptivos de datos agrupados, se usan los puntos medios de clase para aproximar los valores de los datos de cada clase. Por tanto, los estadísticos descriptivos de datos agrupados aproximan los estadísticos descriptivos que se obtendrían si se usaran los datos originales. En consecuencia, es recomendable calcular los estadísticos descriptivos con los datos originales y no con los datos agrupados, siempre que sea posible.

Fuente:

Anderson, Sweeney & Williams – Estadística para Administración y Economía, p. 119 – 122.







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