Relaciones y Funciones

Función.

Siempre que una cantidad variable depende de otra se dice que es función de esta última. La definición moderna de función debida a Cauchy es la siguiente: Se dice que y es función x cuando a cada valor de la variable x corresponden uno o varios valores determinados de la variable y. La notación para expresar que y es función de x es y=f(x).

Siempre que los valores de una variable y dependen de los valores de otra variable x, y es función de x; la palabra función indica dependencia. Pero no basta con saber qué y depende de x, interesa mucho saber cómo depende y de x, de qué modo varía y cuando varía x, la relación que liga a las variables, que es lo que se llama ley de dependencia entre las variables.

No en todas las funciones se conoce de un modo preciso la relación matemática o analítica que liga a la variable independiente con la variable dependiente o función, es decir, no siempre se conoce la ley de dependencia. En algunos casos sabemos que una cantidad depende de otra, pero no conocemos la relación que liga a las variables. De ahí la definición de las funciones en analíticas y concretas.

Funciones Analíticas.

Cuando se conoce de un modo preciso la relación analítica que liga a las variables, esta relación puede establecerse matemáticamente por medio de una fórmula o ecuación que nos permite, para cualquier valor de la variable independiente, hallar el valor correspondiente de la función.

Ejemplo: Costo de una pieza de tela, función del número de metros de la pieza.

Funciones Concretas.

Cuando se conoce de un modo preciso la relación analítica que liga a las variables, esta relación puede establecerse matemáticamente por medio de una fórmula o ecuación que nos permite, para cualquier valor de la variable independiente, hallar el valor correspondiente de la función.

Ejemplo: Costo de una pieza de tela, función del número de metros de la pieza.

Relación.

Es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.

Supongamos que el dominio se llama M y el rango, N. Una relación matemática de M en N será un subconjunto del producto cartesiano M x N. Las relaciones, en otras palabras, serán pares ordenados que vinculen elementos de M con elementos de N.

Si M = {5, 7} y N = {3, 6, 8}, el producto cartesiano de M x N serán los siguientes pares ordenados:

M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}

Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. La relación matemática del conjunto de pares cuyo segundo elemento es menor a 7 es R = {(5, 3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)}

Otra relación matemática que puede definirse es aquella del conjunto de pares cuyo segundo elemento es par: R = {(5,6), (5,8), (7,6), (7,8)}

Tipo de Relaciones.

Unaria: Se da cuando se observa un solo conjunto, y la misma puede definirse como el subconjunto de los elementos que pertenecen al mismo y cumplen una condición determinada, expresada en la relación.

Ejemplo: Dentro del conjunto de números naturales, definir una relación de números pares.

P = {2, 4, 6, 8,…}

Binaria: Como su nombre lo indica, esta relación matemática parte de dos conjuntos, y por lo tanto la complejidad aumenta considerablemente. Los elementos de ambos pueden relacionarse de más formas, y los subconjuntos resultantes se expresan como pares ordenados. En las matemáticas, esto suele estar de fondo en muchas de las funciones más comunes, que tienen como variables y y x, ya que se busca un par de valores (uno de cada eje) que permitan resolver una ecuación (que cumplan la condición).

Ternaria: Cuando definimos una condición que deben cumplir elementos de tres conjuntos diferentes, hablamos de relación ternaria, y el resultado es una o más ternas (el equivalente a los pares ordenados pero con tres elementos).

Ejemplo: Dado el conjunto de números naturales, que nos permite hacer cálculos sencillos, un ejemplo de relación matemática de este tipo es aquélla en la cual a – b = c, de manera que podríamos obtener un subconjunto que comienza así: R = {(3,2,1), (4,3,1), (5,3,2), …}

Fuentes:

A. Baldor – Álgebra.

María del Pilar Martínez Tellez – Matemáticas 2.