Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos (números) que se relacionan para expresar cantidades. A través de la historia del hombre aparecen varios sistemas de numeración, que dependen de la época o la cultura. Los sistemas de numeración se clasifican en posicionales y no posicionales. 

Sistema posicional. Cada símbolo que se utiliza en este sistema se llama dígito, el número de dígitos corresponde al número de base, es fundamental la existencia del cero. Estos sistemas se basan en la posición que ocupa cada dígito (valor relativo) en el número, esto permite que se puedan representar números mayores a la base. En los sistemas posicionales los números se representan con la siguiente fórmula:


Donde: An, An – 1, An – 2, …, A1, A0, A– 1, A– 2, …, A– n son los dígitos.

B es el número de base.

n posición. 

Para identificar el sistema se coloca la base B como subíndice N(B). Los sistemas más utilizados son: el decimal (base 10), binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16), entre otros. 

Sistema decimal (N(10)). Se utilizan los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 los que, como ya se dijo, no representan sólo esos 10 números, sino que al acomodarlos en determinada posición representarán diferentes cantidades. La posición nos indica la magnitud de la cantidad representada, a cada posición se le asigna una potencia de 10 la cual se llama peso. 

Ejemplos:

Representa el número 573(10) en potencia de 10 con la fórmula:

573 = 5 x 102 + 7 x 101 + 3 x 100 

La representación en potencia de 10 del número 424.32(10) es:

424.32 = 4 x 102 + 2 x 101 + 4 x 100 + 3 x 10-1 + 2 x 10-2 

El subíndice 10 se omite la mayoría de las veces, ya que al ser el sistema decimal que utilizamos, se sobrentiende que la base es 10. 

Sistema binario (N(2)). Sistema posicional que utiliza 2 dígitos (base 2), el 0 y el 1, los pesos de la posición son potencias de 2. 

Ejemplos:

Representa el número 11101.11(2) en potencia de 2 con la fórmula:

11101.11(2) = 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 +  1 x 20 +  1 x 2-1 +  1 x 2-2 

Cada dígito del sistema se conoce como dígito binario o bit (binary digit). Este sistema que puede ser un poco engorroso para nosotros, no lo es para una computadora, ya que ésta sólo admite 2 estados posibles, encendido o apagado, que equivale a decir pasa corriente o bien no pasa corriente. De tal forma que cuando pasa se asigna el 1 y cuando no pasa se asigna el 0. 

Sistema octal (N(8)). Sistema posicional que utiliza 8 dígitos (base 8), el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, así la posición de cada dígito tendrá como peso una potencia de 8. 

Ejemplos:

Representa el número 234(8) en potencia de 8 con la fórmula:

234(8) = 2 x 82 + 3 x 81 + 4 x 80 

Una de las aplicaciones de este sistema es que la conversión de binario a octal es muy sencilla, como se verá en otra publicación, ya que por cada 3 dígitos en binario se utiliza un solo dígito en octal.

 

Sistema hexadecimal (N(16)). Sistema posicional que utiliza 16 símbolos (base 16), el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y las letras A, B, C, D, E, F, así la posición de cada dígito tendrá como peso una potencia de 16. 

Ejemplos:

Representa los números 2405(16) y 3AB.2D(16) en potencia de 16 con la fórmula:

2405(16) = 2 x 163 + 4 x 162 + 0 x 161 + 5 x 160 

3AB.2D(16) = 3 x 162 + A x 161 + B x 160 + 2 x 16-1 + D x 16-2 

La utilidad de este sistema radica en que al igual que en el octal, la conversión de binario a hexadecimal es muy sencilla, ya que por cada 4 bits se utiliza solamente un dígito hexadecimal. 

Un byte es la unidad de memoria usada por una computadora y equivale a 8 bits, de tal forma que 2 bytes ocupan 4 dígitos hexadecimales, 4 bytes (32 bits) 8 dígitos hexadecimales y así sucesivamente. 

Sistemas en otra base. Hasta aquí sólo se nombraron algunos sistemas, sin embargo existen otros que aunque no son comunes cumplen con las características de un sistema posicional. 

Sistema ternario (N(3)). Sistema posicional que utiliza 3 dígitos (base 3): 0, 1, 2 

Sistema cuaternario (N(4)). Sistema posicional que utiliza 4 dígitos (base 4): 0, 1, 2, 3 

Sistema quinario (N(5)). Sistema posicional que utiliza 5 dígitos (base 5): 0, 1, 2, 3, 4 

Fuente:
CONAMAT – Matemáticas Simplificadas, p. 152 – 153.

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