Alta Aritmética

El término aritmética también hace referencia a la teoría de números, la cual desarrolla y profundiza las propiedades de los números (enteros) relacionadas con su primalidad, divisibilidad y las soluciones de ecuaciones en los enteros; en particular, el “teorema fundamental de la aritmética” y las “funciones aritméticas” se desarrollan dentro de este marco y este es el uso reflejado en A Course in Arithmetic de Jean-Pierre Serre, o el que le da Harold Davenport en frases como: "aritmética de primer orden" o "alta aritmética".
  • La aritmética modular trata de las congruencias de números enteros; su estudio se inscribe dentro de la teoría de números.
  • La aritmética binaria y el álgebra de Boole, muy utilizadas en informática, es el cálculo aritmético efectuado en un sistema de numeración binario, y el álgebra resultante. Documentado por Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo Explication de l'Arithmétique Binaire.
  • La aritmética ordinal, en teoría de conjuntos, describe el cálculo aritmético con las operaciones —suma, multiplicación y potenciación— aplicadas a los números ordinales.
  • La aritmética de Peano es el conjunto de axiomas de construcción de los números naturales.
  • Los teoremas de incompletitud de Gödel, enunciados por Gödel en 1930, demuestran que ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad es a la vez consistente y completa. 

El Teorema Fundamental de la Aritmética

También conocido como teorema de factorización única, afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Este resultado fue obtenido por Euclides, y presentado originalmente como un corolario al llamado Primer Teorema de Euclides. La demostración formal no se dio hasta la publicación de las Disquisitiones Arithmeticae por Carl Friedrich Gauss en 1801. La generalización y profundización de este resultado y otros similares, son los que impulsan el desarrollo de la teoría de números, la geometría algebraica o la teoría de grupos. 

La axiomatización de la aritmética

La teoría de conjuntos y en particular diversas paradojas relacionadas con los conjuntos infinitos, así como los problemas derivados de la noción de cantidad infinitesimal, entre otros, llevaron a la llamada «crisis de los fundamentos» de la matemática, a principios del siglo XX. En ese contexto, David Hilbert y otros matemáticos colaboradores propusieron el llamado programa de Hilbert como respuesta al problema de los fundamentos. Dicho programa pretendía librar de paradojas el trabajo matemático mediante la formalización y la axiomatización explícita de diversas ramas de la matemática. En el caso de la aritmética, ya Giuseppe Peano había propuesto los llamados “axiomas de Peano” para la aritmética. Estos axiomas, en la forma propuesta por Peano, no podían ser formalizados en un sistema lógico de primer orden, aunque al principio no se pensó que eso constituyera un problema, por lo que por algún tiempo se trabajó en la fundamentación de la aritmética y la teoría de conjuntos usando lenguajes formales de primer orden; sin embargo, el programa de Hilbert sufriría un revés importante cuando Kurt Gödel probó que la formalización de la aritmética mediante un sistema de primer orden en el más puro estilo del programa de Hilbert era problemático. 

El teorema de incompletitud de Gödel

En 1931, Kurt Gödel demostró sus dos famosos teoremas de incompletitud. El primer teorema se refiere a una axiomatización de la aritmética como teoría de primer orden, donde el conjunto de axiomas fuera recursivo (es decir, existiera un algoritmo que permitiera decidir en un número finito de pasos si una proposición dada era o no un axioma, ya que la formalización requiere un número infinito de axiomas, todos ellos instancias de un número finito de esquemas de axioma). Este primer teorema demostraba que aceptando que dicha teoría es consistente entonces necesariamente debe ser incompleta. Es decir, suponiendo que dicha teoría no diera lugar nunca a contradicciones (consistencia) entonces siempre habría una proposición tal que ni ella ni su contrario son demostrables. Asumiendo esta interpretación, lo anterior se puede entender como que “existen afirmaciones ciertas no deducibles dentro de la teoría”. Gödel demostró este teorema construyendo explícitamente una fórmula, tal que ni esta ni su negación fueran demostrables. El segundo teorema de Gödel es aún más ambicioso, Gödel probó que un conjunto de fórmulas dentro de un lenguaje formal que formalizara la aritmética podía "gödelizarse", es decir, representarse por un subconjunto de números enteros, tal que a cada proposición del conjunto correspondía un único número y a cada número del conjunto correspondía una proposición o fórmula. Este teorema asevera que la consistencia de la propia aritmética es indemostrable dentro de la aritmética, ya que el conjunto de números de Gödel asociado al conjunto de teoremas demostrables no era representable dentro de la teoría como subconjunto recursivo. 

Aritmética de segundo orden

Los teoremas de incompletitud tuvieron un efecto demoledor sobre el programa de Hilbert, por lo que se buscaron generalizaciones más sofisticadas para formalizar la aritmética. Si bien, puede construirse un lenguaje de primer orden para la aritmética que sea consistente y completo, pero a condición de introducir un número infinito de axiomas adicionales y sin que el conjunto añadido sea recursivo, lo cual carece de interés práctico ya que sería imposible describir explícitamente ese conjunto de axiomas mediante algún procedimiento algorítmico razonable. Por esa razón, se comenzó a trabajar sobre la construcción de sistemas para formalizar la aritmética mediante lenguajes formales de segundo orden. Puede probarse que la llamada aritmética de segundo orden completa, admite un único modelo que en esencia puede identificarse con los números naturales formalizados menos rigurosamente por los axiomas de Peano. Sin embargo, esa trivialidad del conjunto de modelos de la teoría la hace poco interesante en muchos aspectos, es por esta razón por lo que se han buscado modelos de aritmética de segunda orden lógicamente más débiles, con el fin de averiguar qué partes de la matemática son formalizables utilizando un lenguaje formal más restrictivo. En la actualidad, se han construido un cierto número de lenguajes de segundo orden para la aritmética, y el estudio de los mismos es importante en la llamada matemática inversa que busca averiguar cuál es el sistema lógicamente más restrictivo que permite formalizar ciertas áreas de la matemática.

Fuente:
https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica

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