Cocientes Notables

Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección.

Cociente de la Diferencia de los Cuadrados de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

1) Sea el cociente a²-b²/a+b. Efectuando la división, tenemos a-b.

2) Sea el cociente a²-b²/a-b. Efectuando la división, tenemos a+b.

Lo anterior nos dice que:

1) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

2) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

1) Sea el cociente a³-b³/a+b. Efectuando la división, tenemos a²-ab+b².

2) Sea el cociente a³-b³/a-b. Efectuando la división, tenemos a²+ab+b².

Lo anterior nos dice que:

1) La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

2) La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Cociente de la suma o diferencia de Potencias Iguales de Dos Cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

Las siguientes divisiones nos dan:

1) a⁴-b⁴/a-b=a³+a²b+ab²+b³

2) a⁵-b⁵/a-b =a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴

3) a⁴-b⁴/a+b =a³-a²b+ab²-b³

4) a⁵-b⁵/a+b =a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴

5)a⁴+b⁴/a+b = No es exacta la división.

6) a⁴+b⁴/a-b = No es exacta la división.

Lo anterior nos dice:

1) La diferencia de potencias iguales, hay sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de las bases.

2) La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por la suma de las bases.

3) La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de las bases.

4) La suma de potencias iguales pares nunca es divisible por la suma ni la diferencia.

Los resultados anteriores pueden expresarse abreviadamente de este modo:

1) aⁿ-bⁿ es siempre divisible por a-b siendo n cualquier número entero, ya sea par o impar.

2) aⁿ-bⁿ es siempre divisible por a+b siendo n un número entero par.

3) aⁿ+bⁿ es divisible por a+b siendo n un número entero impar.

4) aⁿ+bⁿ nunca es divisible por a+b ni por a-b siendo n un número entero par.

Leyes que siguen estos cocientes.

1) El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el exponente de las letras en el dividendo.

2) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de a disminuye 1 en cada término.

3) El exponente de b en el segundo término del cociente es 1, y este exponente aumenta 1 en cada término posterior a éste.

4) Cuando el divisor es a-b todos los signos del cociente son + y cuando el divisor es a+b los signos del cociente son alternativamente + y -.

Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.