Desigualdades Lineales

Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Los signos de la desigualdad son >, que se lee mayor que, y < que se lee menor que. Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha de la desigualdad.

Productos Notables

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Entre estos encontramos:

—  Binomio al cuadrado.

—  Binomio al cubo.

—  Binomios con término común.

—  Binomios conjugados.

Binomio al Cuadrado.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

(a+b)(a-b)=a^2-b²

Binomio al Cubo.

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

(a+b)³=(a+b)²(a+b)=(a²+2ab+b²)(a+b)=a³+3a²b+3ab²+b³

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

(a-b)³=(a-b)²(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³

Binomios con Término Común.

Estos son representados de la forma (x+a)(x+b).

(x+2)(x+3)=x²+5x+6

           

(x-2)(x-3)=x²-5x+6

           

(x-2)(x+5)=x²+3x-10

El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios. El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios y en este término la x está elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esa letra en el primer término del producto. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Fuente: 

A. Baldor – Álgebra.

Expresiones Algebraicas

Normalmente en las Matemáticas se utilizan solamente números, signos de operación y paréntesis. En Matemáticas y en muchas otras ciencias se utilizan fórmulas similares a las expresiones aritméticas, pero que contienen letras (ya sea mayúsculas o minúsculas) para denotar números desconocidos o arbitrarios. Ejemplos: Cálculo de perímetros, Ingresos, Costos, etc.

Ecuaciones enteras de Primer Grado con una incógnita

Igualdad.

Es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el miso valor.

Ejemplos: a=b+c         3x²=4x+15

Teorema del Residuo

Polinomio Entero y Racional.

Un polinomio como x³+5x²-3x+4 es entero porque ninguno de sus término tiene letras en el denominador y es racional porque ninguno de sus términos tiene raíz inexacta. Este es un polinomio entero y racional en x y su grado es 3.

Cocientes Notables

Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección.

Cociente de la Diferencia de los Cuadrados de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

1) Sea el cociente a²-b²/a+b. Efectuando la división, tenemos a-b.

2) Sea el cociente a²-b²/a-b. Efectuando la división, tenemos a+b.

Lo anterior nos dice que:

1) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

2) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Productos Notables

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

Elevar al cuadrado a+b equivale a multiplicar este binomio por si mismo y tendremos (a+b)²=(a+b)(a+b). Efectuando este producto, tenemos que el resultado es a²+2ab+b².

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Representación Gráfica del Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse gráficamente cuando los valores son positivos. Véanse los siguientes pasos:

Sea (a+b)²= a²+2ab+b².

Uniendo estas cuatro figuras, formaremos un cuadrado de (a+b) unidades de lado. El área de este cuadrado es (a+b)(a+b)= (a+b)², y como puede verse, esta área está formada por un cuadrado de área a², un cuadrado de área b² y dos rectángulos de área ab cada uno, o sea 2 ab. Luego (a+b)²= a²+2ab+b².

 

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

Elevar (a-b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma; luego: (a-b)²=(a-b)(a-b). Efectuando este producto tendremos a²-2ab+b².

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

Sea el producto (a+b)(a-b). Efectuando la multiplicación tenemos a²-b².

La suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Cubo de un Binomio.

1) Elevamos a+b al cubo.

Tendremos (a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)²(a+b)=(a²+2ab+b²)(a+b). Efectuando esta multiplicación obtendremos a³+3a²+3ab²+b³.

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

2) Elevamos a-b al cubo.

Tendremos (a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a-b)²(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b). Efectuando esta multiplicación obtendremos a³-3a²+3ab²-b3.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

Producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b).

Las siguientes multiplicaciones de binomios nos dan:

(x+2)(x+3)=x²+5x+6

(x-3)(x-4)= x²-7x+12

(x-2)(x+5)= x²+3x-10

(x+6)(x-4)= x²+2x+6

En los ejemplos presentados se cumplen las siguientes reglas:

1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.

2) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios.

3) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.

División Algebraica

División.

La División es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo.

Si el dividendo se divide entre el cociente nos da de cociente lo que antes era divisor.

Multiplicación Algebraica

Multiplicación.

La Multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva.

Resta Algebraica

Resta o Sustracción.

Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia).

Suma Algebraica

Suma o Adición.

Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).

Leyes Formales de las operaciones fundamentales con números reales

Igualdad.

        i.            Axioma de Identidad: a=a.

      ii.            Axioma de Reciprocidad: Si a=b, tenemos que b=a.

    iii.            Axioma de Transitividad: Si a=b y b=c, tenemos que a=c.

Conceptos Preliminares de Álgebra

Álgebra.

Es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.