Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y
cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar
la multiplicación.
Cuadrado de la suma de dos cantidades.
Elevar al cuadrado a+b equivale a
multiplicar este binomio por si mismo y tendremos (a+b)2=(a+b)(a+b).
Efectuando este producto, tenemos que el resultado es a2+2ab+b2.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de
la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Representación Gráfica del Cuadrado de la
suma de dos cantidades.
El cuadrado de la suma de dos
cantidades puede representarse gráficamente cuando los valores son positivos.
Véanse los siguientes pasos:
Sea (a+b)2= a2+2ab+b2.
Uniendo estas cuatro figuras,
formaremos un cuadrado de (a+b) unidades de lado. El área de este cuadrado es
(a+b)(a+b)= (a+b)2, y como puede verse, esta área está formada por
un cuadrado de área a2, un cuadrado de área b2 y dos
rectángulos de área ab cada uno, o sea 2 ab. Luego (a+b)2= a2+2ab+b2.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Elevar (a-b) al cuadrado equivale
a multiplicar esta diferencia por sí misma; luego: (a-b)2=(a-b)(a-b).
Efectuando este producto tendremos a2-2ab+b2.
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al
cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la
segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Sea el producto (a+b)(a-b).
Efectuando la multiplicación tenemos a2-b2.
La suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual
al cuadrado del minuendo (en la
diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
Cubo de un Binomio.
1) Elevamos a+b al cubo.
Tendremos (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b).
Efectuando esta multiplicación obtendremos a3+3a2+3ab2+b3.
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la
primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más
el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la
segunda.
2) Elevamos a-b al cubo.
Tendremos (a-b)3=(a-b)(a-b)(a-b)=(a-b)2(a-b)=(a2-2ab+b2)(a-b).
Efectuando esta multiplicación obtendremos a3-3a2+3ab2-b3.
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la
primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda,
más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la
segunda cantidad.
Producto de dos binomios de la forma
(x+a)(x+b).
Las siguientes multiplicaciones
de binomios nos dan:
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
(x-3)(x-4)= x2-7x+12
(x-2)(x+5)= x2+3x-10
(x+6)(x-4)= x2+2x+6
En los ejemplos presentados se
cumplen las siguientes reglas:
1) El primer término del producto
es el producto de los primeros términos de los binomios.
2) El coeficiente del segundo
término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los
binomios.
3) El tercer término del producto
es el producto de los segundos términos de los binomios.
Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.
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