Productos Notables

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

Elevar al cuadrado a+b equivale a multiplicar este binomio por si mismo y tendremos (a+b)²=(a+b)(a+b). Efectuando este producto, tenemos que el resultado es a²+2ab+b².

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Representación Gráfica del Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse gráficamente cuando los valores son positivos. Véanse los siguientes pasos:

Sea (a+b)²= a²+2ab+b².

Uniendo estas cuatro figuras, formaremos un cuadrado de (a+b) unidades de lado. El área de este cuadrado es (a+b)(a+b)= (a+b)², y como puede verse, esta área está formada por un cuadrado de área a², un cuadrado de área b² y dos rectángulos de área ab cada uno, o sea 2 ab. Luego (a+b)²= a²+2ab+b².

 

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

Elevar (a-b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma; luego: (a-b)²=(a-b)(a-b). Efectuando este producto tendremos a²-2ab+b².

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

Sea el producto (a+b)(a-b). Efectuando la multiplicación tenemos a²-b².

La suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Cubo de un Binomio.

1) Elevamos a+b al cubo.

Tendremos (a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)²(a+b)=(a²+2ab+b²)(a+b). Efectuando esta multiplicación obtendremos a³+3a²+3ab²+b³.

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

2) Elevamos a-b al cubo.

Tendremos (a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a-b)²(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b). Efectuando esta multiplicación obtendremos a³-3a²+3ab²-b3.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

Producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b).

Las siguientes multiplicaciones de binomios nos dan:

(x+2)(x+3)=x²+5x+6

(x-3)(x-4)= x²-7x+12

(x-2)(x+5)= x²+3x-10

(x+6)(x-4)= x²+2x+6

En los ejemplos presentados se cumplen las siguientes reglas:

1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.

2) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios.

3) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.