Estimación por Intervalo (Media Poblacional σ conocida)

En esta ocasión se comparte otro tema de Estadística que espero se comprenda de la mejor manera posible. Advierto que la extensión de este material es bastante amplia, pero si pones de tu paciencia, el tema quedará mejor comprendido. En esta publicación conocerás qué es la estimación por intervalo para los casos de la media poblacional en la que se conoce la desviación estándar, existen muchos otros cálculos de intervalos, por eso mismo se aclara el tema en concreto.

Con objeto de obtener una estimación por intervalo para la media poblacional, se necesita la desviación estándar poblacional para calcular el margen de error. En la mayor parte de los casos, no se conoce, sin embargo, en algunas ocasiones, se cuenta con una gran cantidad de datos anteriores (históricos) que se pueden usar para calcular la desviación estándar poblacional antes de tomar la muestra. También, en aplicaciones al control de calidad, en las que se supone que el proceso se desarrolla correctamente “en control”, se considera que se conoce la desviación estándar. A tales casos se les conoce como casos de σ conocida.

Hay que recordar que  (la media muestral) es un estimador puntual de la Media Poblacional (denotada por el símbolo μ).

La proporción muestral es un estimador puntual de la proporción poblacional p.

Como no se puede esperar que un estimador puntual suministre el valor exacto del parámetro poblacional, se suele calcular una estimación por intervalo al sumar y restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error.

La fórmula general de una estimación por intervalo es:

Estimación puntual ± Margen de error.

El objetivo de la estimación por intervalo es aportar información de qué tan cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del parámetro poblacional.

Por lo que las fórmulas también se pueden interpretar como:

 x ± Margen de Error y

 p ± Margen de Error.

 ¿Así de fácil es la fórmula? No tanto, ya que el margen de error no se determina solo porque sí, tiene su ciencia, y a continuación iremos explicando las variables que constituyen este cálculo.

La fórmula es:

X ± Zα/2(σ/√n)

Las variables de esta fórmula son las siguientes:

X es igual a la Media Poblacional.

Zα/2 es el Nivel de Confianza, siendo los valores de 90 %, 95 %, 99 % los más usuales.

σ es la Desviación Estándar poblacional.

n es el Tamaño de la Muestra o Población.

En algunos casos, en vez de ver la división de la Desviación Estándar poblacional entre la raíz del tamaño de muestra o población, esta se simplifica como la variable del error estándar, que es lo que multiplica a la Z del nivel de confianza para obtener el cálculo del margen de error.

σx = (σ/√n)


En primera instancia, de acuerdo a la imagen, hay que establecer que los datos están ordenados con una distribución normal, donde a partir de la Media Muestral o Poblacional, vamos a ir calculando valores que están arriba o debajo de la misma, y para ello primero vamos a calcular el nivel de confianza, los cuales están determinados por los valores Z de las tablas de Distribución Normal.

Recordemos que los valores de la 1° columna de la izquierda representan los enteros y el primer decimal de los valores Z de Distribución Normal, que en su intersección con los valores de la 1° fila nos dan diferentes probabilidades que al multiplicarse por cien nos dan diferentes porcentajes, que son los referentes utilizados para establecer los niveles de confianza. En los valores negativos de Z, las probabilidades serán de 0.5000 o menos

Como hace rato se mencionó, los valores de nivel de confianza más utilizados son aquellos que están en el 90 %, 95 % y 99 %; se pueden usar otros, pero estos suelen ser los más comunes. Las Z’s correspondientes (que dan el valor a esa parte de la fórmula del intervalo) se obtienen al dividir el porcentaje restante entre dos, eso a su vez se divide entre 100 y se le resta 1, para obtener los valores de Z’s por default.

Correspondiendo el 90 % (buscado en tabla como .9500) a 1.645, 95 % (buscado en tabla como .9750) a 1.96, y a 99 % (buscado en tabla como .9950) a 2.576.

Se pueden utilizar otros porcentajes de confianza, cuyos valores tendrás que ir encontrando en las tablas o programas que te permitirán hallar su correspondiente valor en las tablas de valores de Distribución Normal.

Uso de programas de Ofimática para resolver Estimaciones por Intervalo al tener la media poblacional y σ desconocida.

Y como siempre, nunca falta el que se impacienta y quiere soluciones “rápidas” o “prácticas”, por lo que a continuación te mostraré la forma de realizarlo en Microsoft Excel.

Teniendo el dato puntual de la Media Poblacional, se calculará el Margen de Error, el cual se calculará con la fórmula INTERVALO.CONFIANZA, de la cual se despliega el siguiente recuadro:



Los elementos que componen a esta fórmula es Excel son los siguientes:

Alfa es la probabilidad restante al nivel de confianza que nos están solicitando.

Desv_estándar es simple y sencillamente la Desviación Estándar Poblacional a utilizar.

Tamaño son la cantidad de elementos a tomar en cuenta de la población.

Para el caso de Open Office Calc, la fórmula cambiará y se limitará a ser sólo CONFIANZA, desglosando lo siguiente:



Los elementos que componen esta fórmula en Open Office Calc son los siguientes: 

Alfa es la probabilidad restante al nivel de confianza que nos están solicitando.

Desv_predeterminada es lo mismo que la Desviación Estándar Poblacional a utilizar.

Tamaño son la cantidad de elementos a tomar en cuenta de la población.

Como no siempre se puede contar con una laptop, también es bueno saber cómo realizar este cálculo con la hoja de Cálculo de Google, que para este caso en específico utilizará la fórmula CONFIDENCE.NORM, la cual desglosa el siguiente recuadro:


Los elementos a tomar en cuenta en esta fórmula para la Hoja de Cálculo de Google son los siguientes:

Alpha es la probabilidad restante al nivel de confianza que nos están solicitando.

Standard_deviation es lo mismo que la Desviación Estándar Poblacional a utilizar.

Pop_size es la cantidad de elementos a tomar en cuenta de la población.


Fuente:
Anderson, David R./Sweeney, Dennis J./William Thomas A; ‘Estadística para Negocios y Economía’; Editorial Cengage Learning; Ciudad de México, 10 ° edición (2008).

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